这，就是数学

观点 / 刘润    主笔 / 二蔓    责编 / 黄静

请原谅我今天，冒昧地拉着你聊这个话题——数学。

数学这个话题，是我一直想分享，但又不敢分享的。

为什么？

因为，它太难了。

这两个字，简直就是一个抽象扭曲的魔鬼。甚至，有同学在报考大学专业的时候说，只要不学数学，选什么专业都行！

我理解。我明白。

可是，对大部分人来说，学数学，不是为了解开数学题，不是为了当数学家，而是为了培养数学思维。

数学思维，不仅能让你登上更高的高度，开拓你的眼界，也能够帮你建立一些正确的常识，让你少走一些弯路，并且让你在人生的每一个岔路口，有更多更多的选择。

今天我能够给企业做战略咨询，能够快速洞察一件事物的本质，其实，最最根本的能力，就来自于数学思维。

可是，数学还是太难了，我学不会怎么办？

解数学题也许很难，数学考试拿满分也许很难，但是，只要你愿意，培养自己的数学思维其实并不难。

今天的文章会有些长，内容有点多，但我会尽可能地用我绵薄的知识，把它讲得更好玩一些。

今天，我们重发一篇过往比较受欢迎的文章《这，就是数学》

相信我，坚持看完，你会有一些小启发的。

以下是这篇次条重发文章正文。

数学，逻辑的产物

什么？你还是抵触？为什么要抵触？

好吧。我试着猜猜，你看看是不是这么回事。

很多人学了十几年的数学，一离开学校，根本不知道数学到底有什么用。

语文，也很难学。但学好语文，起码能写出动人的情书。

英语，还是很难学。但学好英语，起码出国旅游的时候不需要请翻译。

数学...我一直觉得数学挺简单的，加减乘除。

直到...三角函数出现在我生命里的那一天。

（三角函数，图片来自网络）

自打Sin和Cos出现起，老师不再亲切了，课本变成天书了，我的世界也开始变得灰暗了。谁能告诉我，学这些三角函数有什么用？我保证以后不碰三角形的物体还不行吗？

为何数学恐怖如斯？

不妨试着想象一下，数学，就是一座高楼大厦。

那，这座大厦是怎么一步一步被搭建起来的呢？

你看，数学的世界里，有很多的公理。

比如说，任意两个点可以通过一条直线连接；任意线段能无限延长成一条直线；给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径做一个圆；所有直角都全等；若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

头都晕了！

但你可能已经想到了。是的，这是欧氏几何的5条基本公理。

从这5条公理出发，用纯逻辑推理的方法，可以推导出无数条定理。

比如说，每一条线的角度都是180度；三角形的内角和等于180度；过直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线平行......

这就是一幢名叫欧氏几何的大厦。

你发现了吗？数学，本来就是逻辑的产物。

可如果，我从这幢大厦里，随机地抽出一块产物递给你呢？

这块产物原本是用来解决一个什么样的问题的？不知道。是从哪条公理推导出来的？也不知道。是怎么推导出来的？还是不知道。

不知道怎么办？

不需要知道，记下来就行了。可谁又能记下一整座大厦呀。

学的时候昏昏沉沉，考的时候自然天旋地转。

可是，你相信吗？

所有的数学，都是为了解决有趣的问题。

你不信？

我举个例子。

进制，是计数的智慧

先抛一个问题吧。

你知道，为什么计算机要用二进制吗？

好吧。这个问题可能有点简单。因为计算机的各个门电路，只有“开”和“关”两种状态。那就用“0”来表示关，用“1”来表示开。简单、方便。

既然这么简单，可为什么绝大部分的国家，到最后采用了十进制呢？

是为了解决计数的问题。

我今天采回了一批果子，和你们共享。你家分多少颗，他家分多少颗，这就得有个数。

怎么记这个数呢？用计算器吗？进制诞生的时候，不光是没有计算器，恐怕是连本子都没有。

那怎么办？

于是，拥有高等智慧的人类，不约而同地望向了自己的双手。

这十根手指，不就是天赐的计算器吗？分一颗，掰一根。分两颗，掰两根。

分十一颗...好吧，再掰一轮。

可是，既然十进制是天赐的宝物，为什么还有十二进制呢？

比如说，星座，是十二进制的。生肖，也是十二进制的。

为什么？是因为古代有一个特殊的种族，长了十二根手指吗？

那倒不是。其实答案，依然在你的手上。

如果，你不嫌弃的话，我想邀请你和我一起做这样的一套动作。

第一步，张开你的右手。

第二步，移动你的大拇指，放到食指最下面的指节上，并默念：1。然后向上移动你的大拇指，放到食指中间的指节上，并默念：2。再向上移动，并默念：3。

第三步，移动你的大拇指，放到中指最下面的指节上，并默念：4。

......

最终，你会成功地数到12。

怎么样？算出我的财运了吗？能和我说说吗？

不闹了。这就是十二进制。不是有人长了十二根手指头，而是因为有的人习惯掰手指，有的人习惯点指节。

那那那...为什么还有六十进制呢？

比如说，闹钟，是六十进制的。甲子纪年法，也是六十进制的。

不卖关子了。答案，仍然在你的手上。

有的人习惯掰手指，有的人习惯点指节。那把“掰手指”和“点指节”结合一下，就是六十进制了。

你看，用右手掰手指，能计五个数。用左手点指节，能计十二个数。

是的，你已经想到了。五乘以十二，就是六十。

你再猜猜，这个世界上，有没有二十进制呢？

当然。人类有双手双脚，共计二十个指头，当然也会有二十进制的计数法。据说，玛雅人用的就是二十进制。

至于二十进制为什么很少被使用的话...

大概是因为用脚计数不文明吧。

二进制，十进制，十二进制，六十进制，二十进制，都是为解决有趣的问题而生的。

想象一下，如果小学的数学老师，真的带着你掰了一节课的手指，你还会忘记这些知识吗？

我猜，不会的。因为你知道，那些数学公式，投射到现实世界里，到底是为了解决一个什么样的问题。

我再举个例子。

口算，是汉语的音律

也许，你觉得自己的数学成绩是一场灾难。

可你知道吗？和世界上其他国家的同学比起来，你有着得天独厚的优势。

为什么？

因为汉语，在帮你学数学。

看到这里，你可能会有点疑惑。学数学，和汉语有什么关系？

我举个例子。

如果你愿意的话，请口算一下，13乘以9，等于多少？

没错，是117。

请问，你是怎么算出来的呢？

我猜猜看，是不是“三九二十七”，“一九得九”，二十七加九十，得出的117？巧了，我也是这么算的。

我想再问一个“无聊”的问题：这个“三九二十七”，是哪来的？

来自一张流淌在血液里的表格——九九乘法表。

（九九乘法表，图片来自网络）

是的。我和你一样，也背过这张九九乘法表。我们今天所拥有的口算能力，都建立在这张表的基础之上。

可是你知道吗？如果你在一些外国友人的面前，通过口算得出了13乘以9等于117，他会像看神仙一样看着你的。

为什么？因为在这个世界上的很多国家，是没有九九乘法表的。

没有九九乘法表？那怎么口算？

挺新奇的。我试着讲给你听。

比如说，古埃及人。

很久很久以前，古埃及人还生活在国王的统治之下。耕田种地，那是要交税的。

怎么交？

按土地面积交。横着走13步，竖着走9步，就是这块土地的面积。

可是，没有九九乘法表，13乘以9要怎么算呢？

古埃及人，是用堆石头的方法来解决的。

怎么堆？

第一行，先在左手边，放下13颗石子。再在右手边，放下1颗石子。

那第二行呢？要怎么堆？

翻倍。先在左手边，放两次13颗，也就是26颗。再在右手边，放两次1颗，也就是2颗。

第三行，也是同样的道理。左手边是26的翻倍52颗，右手边是2的翻倍4颗。

那要堆到什么时候？

堆到右手边能加出9的时候。

你看，右手边的第一行，是1颗石子。第四行，是8颗石子。一共就是9颗。

左手边的第一行，是13颗石子。第四行，是104颗。一共就是117颗。

天啊，这也太神奇了。

还有吗？

再比如说，俄罗斯人。

战斗民族是怎么解决乘法问题的呢？

第一行，先在右手边，写上13。再在左手边，写上9。

第二行，在右手边减半（6.5），但只取整数，写上6。再在左手边，翻倍，写上18。

第三行，右手边就是3，左手边就是36。

第四行，右手边就是1，左手边就是72。

有趣的事情又出现了。

右手边，有三个奇数：13，3，1。三个奇数的左手边，对应着三个数字：9，36，72。

9+36+72。没错，也是117。

其实，不光是古埃及和俄罗斯，这个世界上，还有各种各样五花八门的乘法计算方式。

虽然，这些计算方式看上去很“怪异”。但是，准确且有效，就是计算的意义。

可是，在效率上，几乎没有任何一种计算方式，能够媲美九九乘法表。

既然如此，没有九九乘法表的国家，为什么不引进呢？

答案是，语言。

汉语中的数字，一、二、三...九，都是单音节的。英语中的数字，one，two，three...nine，既有单音节，又有双音节。

我们小时候背的九九乘法表，朗朗上口，音律感特别强。

想象一下，英语世界的孩子们要是背九九乘法表，那得乱成什么样？

俄罗斯的孩子说，你们聊，我先走了。

你发现了吗？数学的背后，就是一个又一个有趣的问题。

数学，就是用来窥探万物本质的。

条件概率，是骗子的把戏

我到今天还能记起，我在南京大学的第一堂数学课。这堂课的名字叫做“概率”。

概率？这不是高中就学过的知识吗？

于是，数学老师用“条件概率”，给了我们一个下马威。

什么是条件概率？

老师出的那道题，是这么说的。

“有一对父母，生了两个小孩。已知其中一个是女孩，请问，另外一个也是女孩的概率是多少？”

非男即女，50%吗？这应该明显不对，这道题不可能这么简单吧。

25%？也不对。

那，怎么来思考这个问题呢？

首先，站在最顶端的位置（父母）来思考。生孩子，肯定是有先后的。先生一胎，再生二胎。非男即女，所以有四种不同的结果：男男、男女、女女、女男。每种结果的可能性各占25%。

这应该挺容易理解的。

但是，题目中有一个隐藏的条件：已知其中一个是女孩。

什么意思？

简单来说就是，不符合这个条件的样本“男男”，就不在讨论的范围之内。

也就是说，只有“男女、女女、女男”三个样本。

所以，其中一个是女孩，另外一个也是女孩的概率，是三分之一。

这就是条件概率。

头又开始痛了...

不是说，窥探万物本质吗？条件概率，能窥探什么？生二胎的心理预期吗？

别着急。我斗胆试着点一点。

假如，你想知道中国有多少孩子喜欢书法。

如果你在学校里发问卷，调查的结果可能是20%。如果你在兴趣班里发问卷，调查的结果大概会高一些，40%。如果你在书法班发，那结果也许就是80%。

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